琉大模試の解説(数Ⅲ分野)を1113金に実施しました

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北予備の琉大模試の解説(数Ⅲ分野)を1113金に実施しました
問1、問2ですかね。

さて、問題は以下になります。解けますか?
問1
(1)関数f(x)=xsinx+cosx (0<x≦π)について、最大値と最小値を求めよ。
(2)0<x≦πのとき、y=sinxとy=(a-cosx)/x のグラフの共有点の個数をaについて調べよ。

以下、板書解説です。

琉大模試の解説(数Ⅲ分野)を1113金に実施しました

(1)は微分して符号変化を調べ、増減表を書くだけです。この問題は落とせないですね。
0を含まないことに注意!

(2)はよくある「定数分離」に関する問題です。一方の関数を、y=aという形に変形したいという考えがあれば・・・
板書にあるように式変形できます。

y=xsinx+cosxとy=aと変形できました。y=xsinx+cosxはモロに(1)のf(x)のことですよね。
数学は(2)の問題を解く上で、(1)の結果が誘導になっていることが非常に多いです。
(ただし、難関校は誘導がありません、自分で気付かないといけませんが、琉大の場合は大概誘導がついています)

「グラフの共有点の個数」=「グラフとグラフの交点の個数」と読み替えができるか。
後はグラフを書いて、aを変数とみなし、交点の個数を数えるだけですね。

問2 関数f(x)=│x│log(1ーx^2)について、次の問に答えよ。

(1)f(x)はx=0で連続であることを示せ。
(2)定積分 ∫[from -1/2 to 1/2]f(x)dxを求めよ。

それでは板書解説です。

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(1)を解く前に、まずはlogの中身、所謂真数部分は正なので、真数条件より、1ーx^2>0を解いて、xの範囲が決まります。
そして、ここからがポイント

x=0で連続であるとはどういうことでしょうか?連続に関連して、微分可能という概念も出てきますが、そこも
一緒に押さえておく必要がありますね。
連続とは、グラフがつながっていること。微分可能とは、グラフが滑らかであることです。
微分可能ならば、必ず連続です。逆は必ずしも言えません。反例としては、y=│x│をあげています。

x=0の両方向から攻めていき、その値がある値αになっていること、を示せば終わりです。

絶対値を外すときには注意をすること。絶対値の中身が正か負かで場合分けをしないといけませんね。

詳しくは板書を見て下さい。

(2)について

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これは積分区間に着目して下さい。-1/2から1/2までですね。一般的に、-aからaまで、積分区間が左右対称になっているときは、
偶関数か奇関数を疑ってかかること。

偶関数、奇関数の条件は覚えていますか?これができるかできないかで、計算がかなり省エネ化できますよ。
∫logxdxの積分は、公式として必ず暗記しておくこと。xlogx-x+C(Cは積分定数)ですね。
logの積分は100%部分積分です。

そして、1ーx^2をtと置換できましたか?これは置換積分の問題ですね。そこから先は基本的な計算になります。
詳しくは板書を見て見て下さい。








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